Page personnelle de Matteo Ruggiero

Systémes dynamiques holomorphes

Cours - 2019-2020 (1er semestre, 2ème période) - Math - Université de Paris (Paris VII) - M2 Math.
Page du Master M2 IMJ-PRG

Tous les enseignements ont lieu au bâtiment Sophie Germain.

Cours du 04/11/2019 au 13/12/2019.
Le cours de jeudi 07/11/2019 est annulé ; à sa place, on aura cours le mardi 19/11/2019, 16h30-18h30, salle 2012.
Le cours de jeudi 14/11/2019 est annulé ; à sa place, on aura cours le mardi 26/11/2019, 16h30-18h30, salle 2012.
Le cours de mardi 10/12/2019 est annulé ; à sa place, on aura cours le mardi 03/12/2019, 16h30-18h30, salle 2012.

L'évaluation du module consiste en une %eacute;preuve %eacutecrite, possiblement suivie d'un examen oral (sur un sujet concordé avec l'enseignant).

Comportement de la métrique de Poincaré au bord et applications aux familles normales.
Théorème de Ascoli-Arzela.
Classification de la dynamique sur surfaces de Riemann hyperboliques.
Dynamique sur les tores et exemples de Lattès.
Germes tangents à l'identité: classification topologique (idée) et analytique (enoncé).
Preuve du théorème de Yoccoz (tester la linearisabilité sur les familles quadratiques).
Technique de renormalisation dans le théorème de Yoccoz (idées).
Rayons externes et connexité locale des ensembles de Julia pour polynômes.
Construction de la mesure d'équilibre pour applications rationnelles de la sphère de Riemann.
Propriétés ergodiques de la mesure d'équilibre.
Déformations quasiconformes.
Théorème de Sullivan (partie I).
Théorème de Sullivan (partie II).
Existence des anneaux de Herman.
Estimée du nombre d'anneaux de Herman.
Applications rationnelles hyperboliques et bifurcations (partie I).
Applications rationnelles hyperboliques et bifurcations (partie II).

Remarques

Les sujets 1-2 sont plus simples.
Le sujet 3 utilise à fond les propriétés de la métrique de Poincaré.
Le sujet 4 est conseillé a qui est à l'aise avec les surfaces de Riemann.
Le sujet 5 porte sur la dynamique locale de germes paraboliques.
Le sujet 6 porte sur la dynamique locale de germes irrationnels.
Le sujet 7 porte sur les liens entre germes paraboliques, germes irrationnels et conditions diophantiennes (difficile).
Le sujet 8 est un sujet un peu long sur la théorie de Caratheodory.
Le sujet 9 contient des éléments de géométrie complexe en dimension 2.
Le sujet 10 est lié au sujet 9.
Les sujet 12 et 13 sont deux partie d'un sujet trop long pour faire seuls.
Les sujets 12-13-14-15 utilisent la théorie de la déformation quasiconforme du sujet 11.
Les sujets 16 et 17 portent sur l'étude des familles de fonctions (ensemble de Mandelbrot).

	Ensemble de Julia rempli de f(z)=z^2-0.123+0.745i (Lapin de Douady).		Ensemble de Julia de f(z)=z^2-0.194+0.6557i.
	Ensemble de Julia rempli de f(z)=z^3-0.48z+0.706260+0.502896i (Douady's family of rabbits).		Ensemble de Julia de f(z)=z3-0.75z+0.25isqrt10.
	Ensemble de Mandelbrot (en noir), associé à la famille f_c(z)=z^2+c.		Ensemble de Julia et bassins d'attraction de la méthode de Newton associée à g(z)=z^3-1.